|
Наглядная арифметика |
|
|
Технологии устного счета:
- счет "на пальцах",
- аудиомоторная технология,
- визуальная технология |
Технология устного счёта – это совокупность навыков и знаний о числах, позволяющая человеку считать без записи промежуточных результатов на бумаге или других носителях информации. Выделим три вида технологии устного счёта, которые используют различные физические возможности человека: – счёт «на пальцах»; – аудиомоторная технология устного счёта; – визуальная технология устного счёта. Элементы каждой из трех перечисленных технологий устного счёта можно найти в любом учебнике арифметики. В одном алгоритме расчёта человек может использовать элементы всех трех базовых технологий вычислений. В процессе счёта может возникать причудливая комбинация элементов каждой из трех технологий, названных выше. Отдельные фрагменты вычислений дублируются разными средствами, так как, например, о визуальном образе можно рассказать словами. Счёт на пальцах является системой навыков, позволяющих подсчитать небольшое количество предметов. Этот способ счёта базируется на принципе установления взаимно однозначного соответствия подсчитываемых предметов и пальцев на руках. На руке человека пять пальцев, а рук две, поэтому образуется десять эталонных объектов – пальцев, которые можно пронумеровать по порядку. Пальцы на руках, используемые как единицы счёта, упорядочены в линию. При устном счёте можно загибать или, напротив, разгибать пальцы рук, отмечая новое однозначное число. Способ последовательного сопоставления объектов и пальцев является надежным, но чрезвычайно медленным. Недостатком этого «механического» способа счёта является сложность работы с многозначными числами. Используя счёт на пальцах, затруднительно проводить умножение и деление даже в пределах до сотни. Аудиомоторная технология устного счёта характеризуется тем, что каждое число и каждое действие сопровождается словесной фразой типа «Дважды два – четыре». Традиционная технология устного счёта является именно аудиомоторной технологией. Современная система обучения арифметике построена на словесном объяснении исходного состояния, действий и результатов, сопровождающих устный счёт. Попросите человека дать ответ примера умножения « 7 x 8 = ? ». Вы услышите фразу «Семью восемь равно пятьдесят шесть». Как «решен» данный пример « 7 x 8 » ? Человек сформулировал некоторую стандартную фразу об исходных данных умножения – множителях 7 и 8: «Семью восемь …». Он произносит начало этой фразы. Подключается аудиопамять человека, которая продолжает эту заученную фразу, как мелодию песни. По памяти воссоздаётся словесное выражение «…пятьдесят шесть». Когда аудиофраза завершается, человек распознаёт прозвучавшую в сознании фразу как числовой ответ, который можно записать цифрами. Умножение двух однозначных чисел занимает время около секунды, что показывает характерную скорость одного шага вербального устного счёта. В многошаговых алгоритмах расчётов выстраивается длинная цепь словесных фраз, сопровождающих вычисления. Умножение двузначных чисел представляет собой алгоритм из нескольких действий, реализующий поразрядной умножение и сложение. У человека обычных способностей такое вычисление занимает время около десяти секунд. Скажем несколько слов о недостатках аудиоспособа запоминания: - отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами, - невозможность выделить отдельно десятки и единицы ответа без повторения всей фразы, - невозможность обратить фразу вспять от ответа к множителям, что важно для выполнения деления с остатком, - низкая скорость воспроизведения словесной фразы. Супервычислители поражают нас, показывая колоссальные способности мышления человека. Как они считают? Детали этого процесса скоростного вычисления не вполне известны, по крайней мере, современная педагогика до сих пор не могла научить людей быстрому счёту. Несомненно, супервычислители используют свои визуальные возможности и отличную зрительную память для определения ответа. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Супервычислители запоминают большое количество вспомогательных таблиц. Многие из них помнят таблицу умножения двузначных чисел в пределах до 100. Повышению скорости счёта помогают различные способы сокращенных вычислений. Советы педагогов по совершенствованию навыков устного счёта рекомендуют взрослому человеку отказаться от проговаривания аудиофраз в ходе устного счёта. Правда, остаётся без ответа очевидное недоумение: «Как это сделать?» Здесь проявляется серьёзный парадокс современной аудиомоторной методики обучения: сначала от нас требуют выучить примеры таблицы умножения, используя слова. Затем рекомендуют отучиться проговаривать эти слова, мешающие увеличить скорость вычислений, не объясняя толком, как этого достичь! Современная программа школы уделяет внимание устному счёту только первые три-четыре года. Перед старшеклассниками не ставится задача совершенствования навыков счёта. В итоге, по собственным ощущениям ученики относятся к вычислениям, как сложному и трудному процессу. Существуют ли возможности совершенствования вычислений в уме? Супервычислители демонстрируют своими достижениями реальность визуальной технологии устного счёта, лишённой главного недостатка – замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами. В таком устном счёте есть две важные компоненты – личные способности человека и отточенные до совершенства методы работы с числами. Визуальная технология устного счёта имеет теоретическое обоснование в рамках наглядной арифметики – раздела математики, изучающего арифметику средствами геометрии. Любые преобразования десятичных чисел человек может реализовать геометрическими методами, опираясь исключительно на зрительную память. Словам отводится вспомогательная роль, поскольку фразы лишь дублируют и комментируют проведённые действия с визуальными образами. В наглядной арифметике за основу анализа берется каждая цифра в десятичной записи чисел. Алгоритмы действий, указывающие отдельные цифры десятков и единиц ответов по известным исходным числам, называются цифровыми правилами. Для разряда единиц E десятичной записи числа действуют правила единиц, для разряда десятков D имеются правила десятков. Если цифры D и E известны, из них составляется числовой ответ 10 D + E = [ D, E ], который будем записывать в квадратных скобках. Решение примеров A + B = [ D, E ] или A x B = [ D, E ] выполняется по специальным цифровым правилам сложения и умножения, позволяющим применить визуальные методы обработки отдельных цифр в десятичных разрядах. Для геометрической интерпретации числовых действий в наглядной арифметике используется числовая плоскость и Т-матрица. Имеется несколько каналов получения человеком информации об арифметической задаче. Сведения поступают к нам в виде речи, текста, сложного изображения или числа, которое уже есть в нашей памяти. Выделим следующие микроэтапы устного счёта: знакомство с заданием, анализ исходных данных, выбор метода решения, выполнение арифметического действия, фиксация числового ответа. Выделение стадий решения задачи условно, так как действия могут быть отнесены одновременно к различным этапам. Знакомство с заданием. Прежде, чем начать арифметические вычисления, человек должен получить информацию о том, какие числа и какие действия с ними необходимо выполнить. Интервал времени, предшествующий вычислениям, предназначен для уяснения задания. В зависимости от способа, с помощью которого мы получаем задание на арифметическое вычисление, следует планировать свои действия. Иногда перед решением арифметического примера приходится преобразовывать задачу, причём в ходе подготовительной работы выясняются величины исходных данных. Имеется много различных формулировок задания. «Во сколько раз следует уменьшить число 20, чтобы получить 5 ?» Перед вычислением нужно понять, что речь идет о делении, выполняя которое нужно число 20 разделить на число 5, чтобы получить ответ. Сложность в том, что прямое указание на арифметическую операцию деления здесь отсутствует. С помощью математических преобразований задача приобретает вид, пригодный для устного счёта. «Во сколько раз…» означает, что речь идет о делении чисел. Число 20 является делимым, а число 5 будет делителем. По окончании этапа знакомства с заданием выясняем, что задание требует выполнить деление « 20 : 5 = ? ». В дальнейшем изложении наглядной арифметики предполагаем, что все арифметические задания имеют формат, подготовленный для вычислений: «первое число», «арифметическое действие», «второе число». В задании нужно распознать величины чисел A и B. Предположим, что задание поступает к нам в виде речи. Звуки, которые слышит ухо человека, поступают в мозг, слова распознаются, числовой пример приобретает вид, пригодный для дальнейшего счёта. Посторонние шумы могут помешать понять задание от учителя, переданное с помощью речи. Сложность задачи распознавания не стоит недооценивать. Представьте себе, что к вам обращаются на иностранном языке, формулируя арифметическую задачу, к тому же мешает посторонний шум. Здесь потребуется сосредоточенность и некоторое время для перевода фразы на родной язык. Есть свои особенности в получении информации об арифметическом задании, которое человек получает из написанного или напечатанного текста. Для цифр используются стандартные знаки 1, 2, 3, … . Понятно, что ребенка, начинающего изучение арифметики, нужно научить названиям и начертаниям цифр. Распознавание знака цифры может быть затруднено, если текст написан нечетким подчерком, если на листе имеются кляксы, закрывающие линии цифр или, в конце концов, человек плохо видит текст из-за плохого освещения или близорукости. Не исключён вариант постановки арифметической задачи, при которой мы должны подсчитать число предметов в реальной жизненной ситуации. Это может быть количество коробок на складе, или число ступенек, или число уток на пруду. В этом случае предварительный этап решения арифметической задачи становится специальной визуальной процедурой, которая может продолжаться длительное время. Самый удачный случай получения исходных данных возникает при выполнении человеком длинной цепи вычислений в уме. Тогда результат предыдущего арифметического действия уже находится в нашей памяти, и не нужно тратить время на распознавание чисел для выполнения следующего очередного этапа действий. О способе запоминания чисел. Величины исходных данных арифметического примера нужно помнить, хотя бы, во время решения. Для человека имеется два основных способа фиксации числа. Аудио память позволяет запомнить слова, а визуальная память отпечатывает в сознании визуальный образ, подсказывающий величину числа. Называя число словами, мы используем речь, поэтому автоматически попадаем в сферу аудиомоторной технологии устного счёта. Несмотря на то, что комплекс возможностей человека включает и визуальные образы, скорость вычислений будет определяться самим способом выражения мыслей – скоростью речи. Для освоения скоростной технологии устного счёта совершенно необходимо научиться представлять себе величину числа в виде визуального образа, например, в виде конфигурации из меток. Анализ исходных данных. Числа исходных данных необходимо проанализировать, выделив математические свойства. Чем больше признаков числа удастся обнаружить, тем легче будет и запоминание, и счёт. В первую очередь, следует обратить внимание на число знаков-разрядов, цифры в разрядах. Однозначное число, записанное в каждом разряде, имеет величину – менее пяти, пять, более пяти. Отмечаем чётность числа – чётное или нечётное. Для анализируемого числа необходимо вспомнить геометрический вид конфигурации, представленной метками, количество которых отражает аддитивный состав числа из единиц. Полезный мнемонический приём предлагает отметить цифры запоминаемого числа, последовательно указывая цифры на клавишах мобильного телефона. Перемещение внимания по цифрам Т-матрицы для многозначного числа даёт характерную ломаную линию, помогающую запоминанию. Выбор метода решения. В рамках аудиомоторной технологии устного счёта задействуется аудиопамять человека–вычислителя. Здесь применяются заученные фразы о примерах таблиц сложения и умножения. Когда человек забыл или сомневается в правильности ответа, возникает необходимость решения элементарных примеров, даже если они имеют однозначные числа в исходных данных. Визуальная технология устного счёта предлагает несколько способов указания ответов, определяемых используемыми геометрическими схемами. Не будем забегать вперед, этим визуальным методам посвящена значительная часть книги. В некоторых случаях опорный визуальный образ, зафиксированный в визуальной памяти, сразу же даст числовой ответ. В других ситуациях потребуются преобразования по алгоритмам наглядной арифметики. Выполнение арифметического действия. На этом этапе последовательность и содержание действий человека, проводящего вычисления, полностью определяются выбранным алгоритмом решения. Идея наглядной арифметики – указывать каждую цифру исходных данных и ответов – может удивить неподготовленного слушателя. Несмотря на то, что наглядная арифметика предлагает выполнять несколько этапов геометрических построений для получения числового ответа, этот ответ в визуальной форме будет получен существенно быстрее, чем в аудиомоторной технологии устного счёта. Надёжное усвоение алгоритмов наглядной арифметики открывает возможности вычислять с той скоростью, с которой мы осознаём визуальные образы. Фиксация числового ответа. Полученный числовой результат нужно как-то зафиксировать: запомнить, высказать, написать. Несколько слов скажем о свойствах памяти человека. Психология характеризует память человека такими свойствами, как точность, прочность, быстрота запоминания. Для активизации памяти существуют специальные упражнения. Не вдаваясь в детали, отметим главные принципы улучшения запоминания. Чем больше мы знаем о предмете изучения, тем лучше запоминаем. Чем шире спектр ассоциативных связей, тем легче фиксируется образ. Чем больше у человека положительных эмоций о ситуации, тем точнее и ярче будут запоминаемые впечатления. Обязательные требования к методу запоминания – безошибочность получения результата. В процессах запоминания принято выделять кратковременную и долговременную память. Эти типы памяти характеризуются разным временем удержания образа объекта в сознании. Оперативная память сохраняет запоминаемую фразу или визуальный образ до 20-ти минут. Несколько повторений с интервалами через 5 – 10 минут обеспечат долговременную фиксацию образа. Использование цифрового правила позволит запомнить ответ примера умножения значительно быстрее и надёжнее. Долговременная память обеспечивает хранение сведений в течение большого промежутка времени. Детали запоминаемого объекта забываются. Половина сведений долговременной памяти забывается примерно за 10 дней. Регулярное повторение в течение нескольких дней для восстановления забытых деталей оставляет яркий запоминаемый образ на годы. Следуя рекомендациям алгоритмов устного счёта, мы выполняем некоторые действия, которые выстраиваются в последовательность, допускающую выделение этапов. Однако не будем упрощать ситуацию. Имеются такие геометрические схемы, и мы увидим их в последствии, которые рисуют нам визуальный образ, показывающий величину известных исходных данных одновременно с цифрами ответа, на одной и той же картинке, в одном и том же изображении. Числовой результат на такой геометрической вычислительной схеме, благодаря подсказке памяти, осознается и фиксируется почти мгновенно. После появления у человека устойчивого навыка работы с визуальными образами чисел, может случиться, что этапа выполнения «вычисления» для получения ответа ему уже не потребуется. По субъективным ощущениям человек может даже не осознавать логической связи, ведущей от исходных данных к результату, что даёт ему повод говорить об интуиции, получении ответа «без счёта», практически без усилий воли. В книге «Записки психолога» А. Петровский привёл такую ремарку о супервычислителях. «Ни Шерешевский, ни Шелушков, ни известный в прошлом «человек-счетчик» Куни ничего, сколько-нибудь проясняющего их феноменальные качества сообщить не могли. Один из них как-то сказал: «Я ничего не могу объяснить. Это происходит, как – будто, помимо меня самого. Иногда мне кажется, что я стою в конце длинного коридора. По бокам его двери. Из них поочередно, с огромной скоростью выскакивают числа, а в конце коридора я прочитываю результат». Оставим эту цитату без комментариев. По итогам наших обсуждений читатель может составить свое собственное мнение о скоростных вычислениях и ассоциациях, возникающих в сознании в процессе счёта.
|
| На главную страницу |